矩阵

对称和反对称

对称矩阵 $(A_{ij}=A_{ji})$ 反对称矩阵$(A_{ij}=-A_{ji})$

正定

$\parallel x{\parallel }^2=x^{\mathrm{\top }}x$ generalizes to $x^{\mathrm{\top }}Ax\ge 0$

概念解读

• 左侧是向量的 L₂范数平方，即 (|x|^2 = x^\top x)，其值天然非负（这是向量长度的基本性质）。
• 右侧将其推广到二次型：$x^{\mathrm{\top }}Ax\ge 0$，其中 A 是矩阵。若对所有非零向量 x 都满足 $x^{\mathrm{\top }}Ax>0$，则称 A 是正定矩阵；若允许等于 0（仅当 $x=0$ 时），则称 A 是半正定矩阵。
• $\parallel x\parallel 2=x\top x$ 是向量长度的平方,利用$x^2+y^2<=x^2+b^2$ 的原理,得到$x^{\mathrm{\top }}Ax\ge 0$

正交

正交矩阵是一类特殊的方阵，具有两个关键性质：一是矩阵的所有行向量相互正交（即不同行向量的内积为 0）；二是每个行向量的长度为 1（单位长度）。这些性质可以用数学公式$\sum _j{U}_{ij}{U}_{kj}={\delta }_{ik}$来表示，其中${\delta }_{ik}$是克罗内克函数（当$i=k$时为 1，否则为 0）。